Bab 5

BAB 5

MOMEN KEMIRINGAN DAN KURTOSIS

Ukuran Kemiringan (skewness)

    Merupakan derajat atau ukuran dari ketidaksimetrisan (Asimetri) suatu distribusi data. Kemiringan distribusi data terdapat 3 jenis, yaitu :

    Simetris : menunjukkan letak nilai rata-rata hitung,
median, dan modus berhimpit (berkisar disatu
titik)
    Miring ke kanan : mempunyai nilai modus paling
kecil dan rata-rata hitung
paling besar
    Miring ke kiri : mempunyai nilai modus paling
besar dan rata-rata hitung paling kecil
Kemiringan              simetri (normal) kemiringan  Negatif positi

Untuk mengukur derajat kecondongan suatu distribusi dinyatakan dengan koefisien kecondongan (koefisien skewness).Ada tiga metode yang bisa digunakan untuk menghitung koefisien skewness yaitu :
   Rumus pearson
 = 1/S (X ̅ - Mod)   Atau  = 3/S (X ̅ – Med)
    Rumus Momen

    Data tidak berkelompok

3 = 1/〖nS〗^2  ∑ ( X1 X ̅ )3


    Data Berkelompok

3 = 1/〖nS〗^3  ∑f i( mi - X ̅ )3

Keterangan
3    = derajat kemiringan
x1    = nilai data ke – i
 X ̅     = nilai rata-rata hitung
Fi    = frrekuensi nilai ke i
M1    = nilai titik tengah kelas ke-i
S    = Simpangan Baku
N    = Banyaknya data
Jika    3 = 0 distribusi data simetris
    3 < 0 distribusi data miring ke kiri
    3 > 0 distribusi data miring ke kanan









    Rumus bowley

Rumus ini menggunakan nilai kuartil :

    3 =  (Q_3+ Q_1- 2Q_2)/(Q_3- Q_1 ) 
Keterangan :
Q1        = kuartil pertama
Q2        = Kuartil Kedua
Q3        = Kuaril Ketiga

Cara menentukan kemiringannya :
    Jika Q3 – Q2  =  Q2 – Q1 sehingga Q3 + Q1 -2Q2 = 0 yang mengakiibatkan 3 = 0, sebaliknya jika distribusi miring maka ada dua kemungkinan yaitu Q1 = Q2 atau Q2 = Q3, dalam hal Q1 = Q2 maka 3 = 1 , dan untuk Q2 = Q3 maka 3 = -1
Ukuran kemiringan data merupakan ukuran yang menunjukan apakah penyebaran data terhadap nilai rata-ratanya bersifat simetris atau tidak. Ukuran kemiringan pada dasarnya merupakan ukuran yang menjelaskan besarnya penyimpangan data dari bentuk simetris. Suat distribusi frekuensi yang miring (tidak simetris) akan memiliki nilai mean, median dan modus yang tidak sama besar (X ̅ ≠ Md ≠ Mo) sehinggan distribusi akan memusat pada salah satu sisi yaitu sisi kanan atau sisi kiri. Hal ini yang menyebabkan bentuk kurva akan miring ke kanan atau ke kiri. Jika kurva miring ke arah kanan (ekornya memanjang ke arah kiri) disebut kemiringan positif, dan jika kurva miring ke arah kiri (ekornya memnjang ke arah kanan) disebut kemiringan negatif.

Analisis kasus :
Tabel 2.1
Cara perhitungan koefisien kecondongan dengan metode 
Pearson dari data penghasilan keluarga
penghasila keluarga    X    f    U    fU    Fu2
10-22    16    5    -3    -15    225
23-35    29    6    -2    -12    144
36-48    42    13    -1    -13    169
49-61    55    19    0    0    0
62-74    68    11    1    11    121
75-87    81    11    2    22    484
88-100    94    5    3    15    225
Jumlah        70        ∑ fU = 8    ∑ fU2 = 1368

Sebelum menggunakan rumus terlebih dahulu dicari nilai , mean, median, dan standar deviasinya berikut ini:
Mean :
 X ̅ = A + ((∑▒〖f.U〗)/n) . i
        X ̅ = 55 + (8/70) . 3
 X ̅ = 56,485

Median :
    Med = Tkbmd + ((1/2  n-fkb)/fmd) . i

Med = 48.5 + ((35-24)/19) . 13
Med = 48.5 + 7,526
Med = 56,026

Standar Deviasi :
        
        S = i √((n∑f.U^2-(∑f.U^2))/(n(n-1)))
            S = 13 √(((70)-(1368)-(〖8)〗^2)/(70(70-1)))
            S = 13 √19,81
            S = 57,86

Setelah kita dapatkan nilai-nilai diatas, kemudian dimasukan ke dalam rumus koefisein skewness :
α = 3/S (X ̅ - Med)

α = 3/57,86 ( 56,485 – 56,026)

α = 0,0238

dari hasil perhitungan menunjukan bahwa koefisien skewness menghasilkan nilai positif, itu berarti distribusi frekuensi mempunyai bentuk kemiringan yang positif yaitu miring ke arah kanan 

2.1.3 Ukuran Keruncingan (kurtosis)
Merupakan derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Jika bentuk kurva runcingberarti nilai data terkonsentrasi terhadap nilai rata-tata atau nilai penyebarannya kecil, sebaliknya jika bentuk kurva nya tumpul berarti nilai data tersebar terhadap nilai rata-rata atau nilai penyebaran besar. Keruncingan distribusi data ini disebut juga kurtosis.
Derajat keruncingan suatu distribusi frekuensi dapat dibedakan menjadi tiga, yaitu:
    Leptokurtis
Distribusi data yang puncaknya relatif tinggi atau bentuk distribusi yang ujungnya sangat runcing
    Mesokurtis
Distribusi data yang puncaknya tidak terlalu runcing atau tidak terlalu tumpul
    Platikurtis 
Distribusi data yang puncaknya terlalu rendah atau terlalu mendatar


            Mesokurtis                              leptokurtis                              platikurtis

Derajat keruncingan distribusi data α4 dapat dihitung berdasarkan rumus berikut 
    Data tidak berkelompok
α4 = 1/(nS^4 ) ∑ ( Xi - X ̅)4

    Data berkelompok
α4 = 1/(nS^4 ) ∑ fi ( mi - X ̅ )4

Keterangan :
α4    = Derajat keruncingan
Xi    = nilai data ke – i
        = nilai rata-rata hitung
fi    = frekuensi kelas ke – i
mi    = nilai titik tengah ke –i
S    = simpangan baku
n     = banyaknya data

dari  penggunaan rumus  diatas akan menghasilkan kemungkinan tiga nilai yaitu :
        α4 = 3 distribusi keruncingan data disebut mesokurtis
        α4 > 3 distribusi keruncingan data disebut leptokurtis
        α4 < 3 distribusi keruncingan data disebut platikurtis

Analisis kasus :
Tabel 2.2
Cara perhitungan koofisien keruncingan
Dari data penghasilan keluarga
Penghasilan keluarga    Frekuensi    U    f.U    f.U2    f.U3    f.U4
10-22    5    -3    -15    45    -135    405
23-35    6    -2    -12    24    -48    96
36-48    13    -1    -13    13    -13    13
49-61    19    0    0    0    0    0
62-74    11    1    11    11    11    11
75-87    11    2    22    44    88    176
88-100    5    3    15    45    135    405
jumlah    70         8    182    38    1106

s = i √((n∑fU^2-(∑f.〖U)〗^2)/(n(n-1)))
s = 13 √(((70)(1368)-(〖8)〗^2)/(70(70-1)))      

s = 13 √19,81

s = 57,86

Setelah kita dapatkan nilai diatas, kemudian dimasukan ke dalam rumus koefisein kurtosis :

α4 = [(∑f.U^4)/n-4{(∑f.U^3)/n}{(∑f.U^ )/n}+6{(∑f〖.U〗^2)/n} {(∑f.U)/n}^2-3{(∑f.U)/n}^4 ]  i^4/s^4 

α4 = [1106/70-4{38/70}{8/70}+6{182/70} {8/70}^2-3{8/70}^4 ]  〖13〗^4/〖57.86〗^4 

α4 = (15.7557) (0,00255)

α4 = 0.040

Bab 6

DISTRIBUSI NORMAL, DISTRIBUSI F DAN

 DISTRIBUSI F

1. DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi normal merupakan salah satu distribusi probabilitas yang penting dalam analisis statistika. Distribusi ini memiliki parameter berupa mean dan simpangan baku. Distribusi normal dengan mean = 0 dan simpangan baku = 1 disebut dengan distribusi normal standar. Apabila digambarkan dalam grafik, kurva distribusi normal berbentuk seperti genta (bell-shaped) yang simetris. Perhatikan kurva distribusi normal normal standar berikut:

Sumbu X (horizontal) memiliki range (rentang) dari minus takhingga (‒∞) hingga positif takhingga (+∞). Kurva normal memiliki puncak pada X = 0. Perlu diketahui bahwa luas kurva normal adalah satu (sebagaimana konsep probabilitas). Dengan demikian, luas kurva normal pada sisi kiri = 0,5; demikian pula luas kurva normal pada sisi kanan = 0,5.

Dalam analisis statistika, seringkali kita menentukan probabilitas kumulatif yang dilambangkan dengan notasi P (X<x). Sebagai contoh, P (X<1), apabila diilustrasikan dengan grafik adalah luas kurva normal dari minus takhingga hingga X = 1.

Secara matematis, probabilitas distribusi normal standar kumulatif dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Akan tetapi, kita lebih mudah dengan bantuan tabel distribusi normal. Berikut adalah tabel distribusi normal standar, untuk P (X < x), atau dapat diilustrasikan dengan luas kurva normal standar dari X = minus takhingga sampai dengan X = x.

Contoh penggunaan:
Hitung P (X<1,25)

Penyelesaian: Pada tabel, carilah angka 1,2 pada kolom paling kiri. Selanjutnya, carilah angka 0,05 pada baris paling atas. Sel para pertemuan kolom dan baris tersebut adalah 0,8944.
Dengan demikian, P (X<1,25) adalah 0,8944.

2. DISTRIBUSI F

DISTRIBUSI  F      

Distribusi ini juga mempunyai variabel acak yang kontinu. Fungsi identiatasnya mempunyai persamaan:

Dengan variabel acak F memenuhi batas F > 0, K = bilangan yang tetap harganya bergantung pada v1 dan v2 . sedemikian sehingga luas dibawah kurva sama dengan satu, v1= dk pembilang dan v2= dk penyebut.

Jadi distribusi F ini mempunyai dua buah derajat kebebasan. Grafik distribusi F tidak simetrik dan umumnya sedikit positif seperti juga distribusi lainya, untuk keperluan penghitungan dengan distribusi F, daftar distribusi F telah disediakan seperti dapat ditemukan dalam lampiran , daftar 1. Daftar tersebut berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan derajat kebebasan v1 dan v2. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yang diarsir, sedangkan dk=v1 ada pada baris paling atas dan dk=v2 pada kolom paling kiri.

Untuk tiap pasang dk,v1 dan v2,daftar berisikan harga-harga Fdengan luas kedua ini (0,01 atau 0,05)

Untuk tiap dk= v2, daftar terdiri atas dua baris, yang atas untuk peluang p=0,05 dan yang bawah untuk p=0,01.

Contoh: untuk pasangan derajat kebebasan v1=24 dan v2=8, ditulis juga(v1,v2)=(24,8), maka untuk p=0,05 didapat F =3,12 sedangkan untuk p=0,01 didapat F=5,28(lihat daftar1,lampiran). Ini didapat dengan jalan mencari 24 pada baris atas dan 8 pada kolom kiri. Jika dari 24 turun dan dari 8 ke kanan, maka didapat bilangan bilangat tersebut. Yang atas untuk p=0,05 dan yang bawahnya untuk p=0,01.

Notasi lengkap untuk nilai-nilai F dari daftar distribusi F dengan peluang p dan dk=(v1,v2) adalah Fp(v1,v2)

Demikian untuk contoh kita didapat

F0,05(24,8)=3,12 dan F0,01(24,8)=5,28

Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang p=0,01 dan p=0,05, tetapi sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan 0,95.

Untuk ini digunakan hubungan

Dalam rumus diatas perhatikan antara p dan (1-p)dan pertukaran antara derajat kebebasan (v1,v2) menjadi (v2,v1)

Contoh: telah didapat F0,05(24,8)=3,12

                makaF 0,95(8,24)= 0,321.

3. DISTRIBUSI F

Distribusi F adalah pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi T sebagai uji statsistik, table pengujiannya disebut table T student. Distribusi T pertama kali diterbitkan tahu 1908 dalam suatu makalah oleh W.S. Gosset. 

Distribusi t merupakan salah satu pengembangan dari Distribusi z. Secara prinsip penggunaan Distribusi t digunakan untuk membandingkan rata-rata dari dua sampel. Rata-rata dua sampel tersebut dibandingkan untuk mengetahui apakah dua data tersebut mempunyai beda. Distribusi biasanya digunakan untuk data yang banyak sampelnya kurang dari sama dengan 30.

t di definisikan sebagai berikut:


Dari definisi nilai t di atas, ada beberapa nilai yang perlu kita ketahui:


sehingga inputan data di atas sebaiknya anda tahu.